Sesión 5

Situación problema

Es la final del campeonato escolar y quedan pocos segundos. Un jugador patea el balón desde el suelo hacia el arco. Al verlo, notas que el balón no viaja en línea recta: sube, alcanza un punto máximo y luego baja.

Datos de la situación:

• El arco está a 20 m del punto donde patea el jugador.
• El travesaño está a 2,44 m de altura.
• El lanzamiento depende de dos parámetros: a, que controla qué tan curvada es la trayectoria, y b, que representa el impulso inicial de la patada.

Pregunta problema: ¿qué forma tiene la trayectoria del balón y cómo podemos representarla matemáticamente para predecir si entrará al arco?

Tu misión: pulsa ▶ Lanzar balón para ver el tiro. Luego mueve los deslizadores a y b, uno a la vez, y busca una combinación con la que el balón pase por debajo del travesaño y marque gol. Observa cómo cambian la curva, el punto más alto (vértice) y el lugar donde cae el balón.

Análisis

Responde en tu cuaderno o en el espacio que indique tu docente. Luego socializa tus respuestas con el grupo.

1. ¿Qué forma describe la trayectoria del balón? ¿Es una línea recta? ¿Por qué crees que ocurre?
2. ¿Qué variables intervienen en la situación? ¿Qué representa cada eje (x e y)?
3. ¿Cuál es el punto más alto que alcanza el balón? ¿Qué pasa con la altura antes y después de ese punto?
4. Mueve los deslizadores a y b, uno a la vez. ¿Qué cambia en la trayectoria? ¿Cómo logras que el balón entre al arco?
5. ¿Cómo podrías representar matemáticamente este comportamiento? Escribe una hipótesis.

Pistas

• Pregunta 1: mira la curva azul mientras animas el balón.
• Pregunta 2: piensa en la distancia recorrida y en la altura.
• Pregunta 3: ubica el punto rojo (vértice).
• Pregunta 5: la expresión del modelo aparece en la vista algebraica de GeoGebra.

Conceptualización

La trayectoria que observaste es una parábola, la gráfica de una función cuadrática. Su forma general es:

f(x) = ax² + bx + c, con a distinto de 0.

Elemento	¿Qué es?	En el balón
Parábola	Curva simétrica que abre hacia arriba o hacia abajo	La trayectoria completa
Vértice	Punto más alto o más bajo de la curva	La altura máxima
Concavidad	Si a es positivo abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo	Abre hacia abajo
Eje de simetría	Recta vertical que pasa por el vértice	Divide el vuelo en subida y bajada
Interceptos	Puntos donde la gráfica corta los ejes	El lugar donde el balón cae

En esta situación el modelo es f(x) = −a·x² + b·x: el coeficiente a controla la curvatura y b el impulso inicial. En la siguiente actividad profundizarás en cada elemento.